Любовь и Ненависть (18+)

    

Западник: Про бесконечность   (rss)

Вы также можете посмотреть сообщения от других людей на эту тему

21/02/11, Западник
Одно из самых занимательных и загадочных понятий в математике. Нечто такое, что все продолжается и продолжается, и никогда не закончится. Что это за штука такая, и как ее только себе представить? Ну вообще-то не так уж и сложно: возьмем к примеру какое-либо число и прибавим к нему единицу, а потом еще единицу, и еще, и еще - этот элементарный процесс можно продолжать сколько угодно, для него нет никаких препятствий (по крайней мере, с точки зрения математики). Или любой отрезок можно мысленно продолжить в обе стороны на сколь угодно большую величину. Это все потенциальная бесконечность, а есть и актуальная, когда сразу рассматривается, скажем, бесконечное пространство, у которого нет и не может быть никаких ограничений - иначе что должно быть за его концом? В наше время с обеими знакомятся фактически уже в первом классе, когда проходят разницу между прямой и отрезком, а еще двести лет назад даже ученые признавали только потенциальную, актуальную же старались по возможности избегать.

21/02/11, Западник
Слишком уж непонятной и нелогичной вещью казалась она: ну хорошо, что-либо конечное можно все увеличивать и увеличивать, но как могут существовать заведомо бесконечные величины?! Чушь какая-то! Все на свете имеет где-либо конец! Тем более, что обращение с актуальной бесконечностью постоянно приводит к на первый взгляд полному бреду, что часть равна целому. Например, если натуральных чисел бесконечно много, а каждое из них можно возвести в квадрат, то первых столько же, сколько и вторых. Но как же так? Ведь числа 0, 1, 2, 3, 4, ... расположены друг к другу куда "плотнее", чем 0, 1, 4, 9, 16, ... - явное же "противоречие". А еще "хуже" обстоит дело с функцией y = |x| / (1 + |x|), потому что какой бы икс в нее не подставить, игрек будет между нулем и единицей. Получается однозначное соотношение между всей числовой прямой и совсем маленьким промежутком. Подобные "парадоксы" у математиков прошлого вызывали порой настоящее отвращение к актуальной бесконечности, впоть до середины 19 века.

21/02/11, Западник
И лишь чешский ученый Бернард Больцано (1781-1848) решился-таки не то что признать актуальную бесконечность, но даже положить в основу рассуждений о ней как раз ее главную "проблему": если между тем или иным множеством и одной его частью можно установить соотношение 1:1, значит, это множество бесконечно. Уже заведомо бесконечно, именно таким оно и дано с самого начала. К сожалению, опубликована эта идея была только через три года после его смерти - может, он сам так распорядился, боялся, что его засмеют? Но во всяком случае, она была принята и с тех пор постоянно используется в математике, упрощая очень многие логические высказывания и рассуждения. Так, например, известный пятый постулат геометрии выглядит у самого Евклида очень громоздко, совсем непохоже на само собой разумеющуюся аксиому - а все как раз потому, что для него не существовало никаких прямых, в том числе и параллельных, а только продлеваемые отрезки. В наши же дни используется компактная и изящная формулировка. ==>

22/02/11, Западник
Но совершенно на первый взгляд невероятное открытие сделал немкцкий ученый Георг Кантор (1845-1918), родившийся, кстати, в Петербурге. Оказалось, что на свете существует не одна бесконечность, а бесконечное множество их! Так, например, можно установить то самое соотношение 1:1 между натуральными числами и целыми (0, 1, -1, 2, -2, ...), и даже рациональными (обыкновенными дробями вида m/n, где m и n целые числа, n не равно нулю) - но не между натуральными и действительными (всеми без исключения на числовой прямой). Все-таки и в царстве бесконечности бывает справедливо правило, что часть меньше целого, следовательно, одна бесконечность может быть больше другой, т. е. еще "бесконечнее". Математики говорят о мощности (т. е. количестве элементов) счетного множества, поскольку натуральные числа используются для счета, и континуума, потому что действительные числа расположены на числовой прямой "сплошной вереницей", без промежутков, мнимые комплексные изображаются уже на плоскости.

22/02/11, Западник
Ну а как обстоит дело с этой самой плоскостью, трехмерным пространством или пространством с n-ным количеством измерений? А точно так же, как и с прямой и даже любым ее отрезоком: у них у всех совершенно одинаковое количество точек. На малюсеньком промежутке [0, 0,000001] расположено больше точек, чем всех обыкновенных дробей на свете - но ровно столько же, сколько хоть в квинтиллионномерном пространстве. Вот так вот. Но что же тогда за бесконечное число бесконечностей, пока же их только две? А оказывается, доказательство того, что натуральных чисел меньше действительных, можно совершенно аналогично применить и к действительным и показать, что их меньше, чем элементов некоего другого множества, а потом проделать эту же операцию с последним и т. д. Вот и получаются все большие и большие бесконечности, и сам этот процесс не имеет конца, он тоже бесконечен. Сам Кантор по собственному признанию вначале не верил всему этому, хотя ясно видел справедливость своих рассуждений.

22/02/11, Западник
Поэтому известный знак в виде лежащей на боку восьмерки используется в математике только в тех случаях, когда речь идет о как бы обобщенной бесконечности, без каких-либо уточнений. Когда просто хотят подчеркнуть, что речь идет о нечто таком, что больше любого действительного числа, каким бы огромным оно ни было. Как, например, в анализе, при стремлении той или иной функции к бесконечности. Но если нужно выразить ту самую разницу между бесконечностями разного вида, например, в теории множеств, то используют еврейскую букву алеф (немного похожий на латинский x) с соответствующим индексом. Не латинскую, и не греческую, а именно еврейскую. Алеф с индексом 0 обозначает мощность счетного множества, с единицей - континуума. Более "высокие" бесконечности не имеют такой наглядной модели. ==>

22/02/11, Западник
Существуют ли в реальном мире бесконечные величины? Трудно сказать. Возможно, ими выражаются такие фундаментальные величины, как пространство и время. Так, например, современные данные космологии говорят о том, что Вселенная (не только доступная для наблюдения ее часть) бесконечна и что она будет бесконечно расширяться, а значит, и время никогда не подойдет к концу. Правда, у него было начало - Большой взрыв, поэтому оно скорее напоминает математический луч, который с одной стороны все-таки ограничен. Наверно, по-настоящему бесконечным является могущество некоей Высшей Силы, которой подчиняется абсолютно все происходящее в мире, и которая вообще не зависит ни от времени, ни от пространства, ни тем более о наших нынешних представлениях о мире. Ее можно назвать Богом, или Природой, или Всеобщим Законом Природы - кому как нравится. Суть в том, что она стоит превыше всего на свете, как бесконечность над всеми действительными числами.

04/05/13, Западник
"Если между тем или иным множеством и одной его частью можно установить соотношение 1:1, значит, это множество бесконечно." Немецкий математик Давид Гилберт (1862-1943) предложил довольно наглядную демонстрацию этого свойства, которая теперь называется гостиницей Гилберта. Представим себе отель с бесконечным числом номеров, причем все из них заняты. И вдруг прибывает еще один турист. Негде разместить? Ничего подобного: администратор просит всех постояльцев перейти из номера n в номер n + 1, и таким образом самый первый оказывается свободным. Нетрудно видеть, что такой фокус применим только с бесконечными множествами: в обычной, физически возможной гостинице, разумеется, постояльца из самой последней комнаты пришлось бы выселить, а здесь-то самой последней нет. Можно даже представить себе миллиард новоприбывших, смещение получается аналогичное. Конечно, переходить через миллиард комнат отнимет очень много времени, но и его запас тут вполне можно представить бесконечно большим.

04/05/13, Западник
Но уж если фантазировать, так по-настоящему: а что, если прибудет автобус с бесконечным числом туристов? Элементарно, Ватсон: просьба всех уже остановившихся перейти в комнату с вдвое большим номером, чтобы всех новоприбывших разместить в номерах с нечетным числом. А если бесконечное множество автобусов и в каждом бесконечное множество туристов? Чуть сложнее, но тоже разрешимо. Тогда каждому постояльцу из номера n следует перейти в 2n - 1, т. е. все четные освобождаются; а теперь пассажир с порядковым номером i из автобуса j может спокойно занять комнату (2^j)*(2i - 1). То есть, для автобуса j имеются в распоряжении все комнаты, обозначенные числами, которые делятся без остатка на j и только j двоек. А затем для каждого из его пассажиров остаются первое, третье, пятое и другие нечетные по счету из таких чисел (четные делились бы как минимум еще на одну двойку, они для автобусов j + 1, j + 2 и т. д.).

04/05/13, Западник
Трудно для восприятия? Но по существу не больше, чем отрицательные числа. Что-либо меньше, чем ничего - разве не удивляет? Просто все привыкли к ним еще со школы, а на сути бесконечности там не очень заостряют внимание. - Справедливости ради стоит добавить, что все вышесказанное относится исключительно к счетным бесконечным множествам (см. выше в топике). Если представить себе, что приезжает хотя бы один автобус с континуумом туристов, то и гостиница должна быть рассчитана на таковой, иначе никакие ухищрения уже не помогут. В математике про все тут разобранные случаи с автобусами говорят, что объединение счетного бесконечного множества как с любым конечным, так и с любым другим счетным бесконечным, так и с объединением счетного бесконечного числа счетных бесконечных множеств - все они равны по числу элементов, их мощности одни и те же. А вот объединение счетного пусть даже бесконечного множества с континуумом уже не счетно. Уфф, ладно, хватит на сегодня заумностей. :-)

20/01/14, Западник
Химиотерапия, о бесконечном количестве вариантов бесконечности я уже подробно писал в этой же теме. Как, например, совокупность действительных чисел гораздо "бесконечнее" совокупности даже рациональных. А с кольцом и шаром есть один очень интересный момент: геометрические фигуры вполне могут быть конечными, но при этом безграничными. Кольцо - это ведь нечто среднее между окружностью и кругом: с толщиной, но без центра. А шар - это сфера со всей внутренней областью. Так вот, сколько ни двигайся по окружности или сфере, никогда не придешь к концу, края Земли не существует. Но при этом все они обладают очень даже конечной длиной или поверхностью. Так одна из моделей Вселенной как раз и заключается в том, что она представляет собой такую вот сферу, но уже трехмерную, которую мы не в состоянии наглядно представить себе. Если же Вселенная - обычное евклидово пространство, то она именно бесконечна, как и любая прямая, и, конечно же, безгранична.

26/01/14, Западник
Хорошо известны парадоксы Зенона о том, что Ахиллес никогда не догонит черепаху, или что невозможно дойти до конца даже короткой дороги. И ведь не так просто даже сейчас заметить, в чем в них загвоздка, не говоря уже об античных временах. В самом деле, черепаха ведь не стоит на месте, а беспрерывно уползает: если согласно классическому изложению считать соотношение их скоростей как 10:1, что само по себе несколько странно, то при принятии первоначального расстояния между ними за единицу бегуну после его прохождения придется преодолеть еще 1/10 его части, а затем 1/100, и так без конца? Оказывается, все дело в том, что сумма даже бесконечного числа слагаемых вполне может быть конечной, и даже совсем не обязательно большой. Особенно в десятичных дробях сразу видно, что Ахиллес поровняется с черепахой через 1,11111... = 1,(1) = 1 1/9 исходной дистанции, естественно, за конечное время. Но то в наши дни, когда давно уже разработана теория бесконечных последовательностей и рядов.

26/01/14, Западник
То же самое и с дорогой: нельзя пройти ее полностью, не дойдя до ее середины, а у остатка появится новая середина, и так без конца. Но 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1, как раз длина целиком. Здесь по сути получается, что любую конечную величину можно разбить на бесконечное множество составляющих, причем не равных нулю. Или Ахиллес лишь вдвое быстрее черепахи. Но все же бывает и так, что бесконечное число даже все время уменьшающихся слагаемых все равно дает бесконечность. Простейший пример: 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... Разделим этот ряд звездочками на группы: 1/2 * + 1/3 + 1/ 4 * + 1/5 + ... + 1/8 * + 1/9 + ... + 1/16 * + ... Внутри каждой группы сумма получается не меньше двух четвертей, или четырех восьмушек, или восьми шестнадцатых - то есть, не меньше половины. Значит, весь результат будет не меньше бесконечной суммы половинок, что и требовалось доказать. Тут Ахиллес бежит все медленнее, причем как раз настолько, что черепаха уже и вправду так и останется впереди.


С вопросами и предложениями обращайтесь по адресу: finn@lovehate.ru